BOSONE DI HIGGS, ERRORE DI TRASPOSIZIONE E… AGOPUNTURA
Quest'anno il britannico Peter Higgs è stato uno dei due vincitori del Nobel per la fisica. Higgs per primo, su basi teoriche, predisse nel 1964 l'esistenza di una nuova particella subatomica: il "bosone di Higgs" come poi essa venne chiamata. L'importanza di questa particella è capitale, senza di essa non starebbe in piedi la matematica dello Standard Model, una teoria alla base della fisica quantistica che unifica due delle quattro forze fondamentali della natura: la nucleare debole e la elettromagnetica.
Prima che questa entità, particolarmente elusiva nel pur al massimo grado elusivo mondo delle particelle subatomiche, potesse esser dimostrata è dovuto passare quasi mezzo secolo. L'annuncio della sua esistenza fu dato infatti il giugno dell'anno passato da un portavoce del CERN, il Consiglio Europeo per la Ricerca Nucleare avente sede a Ginevra.
Come la scoperta è avvenuta ne hanno parlato nei mesi seguiti all'annuncio numerose riviste di divulgazione scientifica quali lo Scientific American e il New Scientist. Per chi, come me, conosce la fisica non molto al di là di quanto appreso al liceo, l'introduzione più chiara è forse l'editoriale apparso sul New Economist il 13 luglio del 2012, scritto presumibilmente da uno scienziato col dono della comunicazione.
Le cose, più o meno, sono andate così. Il CERN dispone a Ginevra di un laboratorio avente un tunnel sotterraneo circolare con un perimetro di 27 Km nel quale vengono fatti correre nei due sensi fasci di protoni a un velocità vicina a quella della luce. Dall'energia sviluppata negli scontri frontali che occorrono tra i protoni originano particelle più piccole tra cui il bosone di Higgs (BH) che a loro volta decadono istantaneamente in particelle ancora minori da alcune delle quali si può risalire alla particella che le ha generate. Si tratta di 40-100 milioni di scontri casuali per secondo che generano un enorme rumore di fondo in cui annega il segnale prodotto dal decadimento dei BH.
La figura sottostante, tratta da un da seminario tenuto dal CERN sul BH il 4 luglio 2012, riporta il risultato complessivo dell'esperimento ove la linea punteggiata è il tracciato da attendersi in assenza del BH (o, se vogliamo essere più cauti, in assenza di una particella dalle caratteristiche compatibili con il BH). La linea rossa invece è il tracciato da attendersi in presenza di questa particella il cui segnale dopo trilioni e trilioni di scontri tra protoni (l'esperimento è continuato ininterrottamente per anni) emerge come una gibbosità corrispondente a una massa di circa 125 GeV - ove GeV è una unità di misura di massa usata in fisica atomica e subatomica. Se non esistesse il BH (ipotesi nulla o Ho), col ripetersi dell'esperimento dovremmo aspettarci l'apparizione del segnale costantemente entro la banda verde attorno linea punteggiata i cui bordi distano ± 2 sigma o deviazioni standard dalla media nel 95% dei casi. Sommando i risultati ottenuti da due programmi di ricerca (ATLAS e CMS) sponsorizzati dal CERN tali limiti di confidenza sono stati superati in quella singola regione di ben 5 deviazioni standard in modo da toccare la probabilità incredibilmente bassa di 0.000001 che capiti di osservare un segnale di fondo in assenza del BH, se fosse cioè vera l'ipotesi nulla Ho (P-value = 0.000001 secondo il test frequentistico di significatività correntemente in uso).
Il ragionamento fatto dei fisici può riassumersi così:
1. Supporre che il HB (o una particella con le caratteristiche compatibili con quelle del BH) non esiste (Ho).
2. Calcolare la probabilità (Pr) di osservare risultati (dati) ugualmente netti o ancora più estremi di quelli ottenuti nell'esperimento nel caso che il BH non esista espressi da un P-value≤ 0.0…1 cioè Pr(dati | Ho) ove il simbolo | sta per "posto che".
3. Se la probabilità di ottenere tali dati è estremamente bassa, posta sempre l'ipotesi Ho che il BH non esiste, vuol dire che l'ipotesi Ho è falsa o, come meglio sarebbe dire, può essere rifiutata.
4. Se è falsa l'ipotesi Ho che il BH non esiste è vera l'ipotesi alternativa H1 per cui il BH esiste.
Fin qui tutto bene. Una controversia è sorta però per il modo con cui molti mezzi di comunicazione quali il New York Times, il Wall Street Journal e anche Nature hanno cercato di quantificare il risultato riferendo la bassissima probabilità di ottenerlo non strettamente ai dati, come avrebbero dovuto, ma a una sua supposta implicazione con l'affermare che esiste solo una probabilità su 3.5 milioni che i risultati sono solo un caso fortunato passando così da Pr(dati | Ho) a Pr (Ho | dati) o Pr(nessun BH | risultato). Esperti di statistica hanno obiettato che dire "senza il BH la probabilità di ottenere un segnale di fondo (falso positivo) tanto al di fuori dei limiti attesi è 0.0…1", cioè astronomicamente bassa, non significa che il BH esiste con una probabilità altrettanto astronomicamente alta di 1 meno 0.0…1. Ragionando così infatti si commette un "errore di trasposizione del condizionante", un tipo di fallacia che ricorre in diverse situazioni. Una illustrazione semplice di questa fallacia è la seguente: se quando piove scostiamo l'ombrello e guardiamo in su vedremo quasi certamente delle nuvole, ma la presenza di nuvole in cielo non comporta la stessa alta probabilità che piova.
Un esempio di questo abbaglio riguardante il diritto è la cosiddetta fallacia del pubblico ministero ("prosecutor fallacy"), in cui viene confusa la probabilità che un accusato risulti positivo a un test di identificazione quale le impronte digitali, o il cui caso rientri in una circostanza particolarmente insolita, con la probabilità che quel soggetto sia il colpevole. Fallacia pericolosa che in passato ha inflitto terribili sofferenze a innocenti Prosecutor’s Fallacy. In medicina, su cui torneremo, questa fallacia occorre di frequente e non sempre è così chiara, e quindi facilmente evitabile, come nel caso in cui la probabilità che un bambino col morbillo abbia macchie rosse sul pancino non è la stessa (è molto più alta cioè) di quella che un bambino con macchie rosse nello stesso luogo del corpo abbia il morbillo.
Il gioco d'azzardo aiuta a capire un altro aspetto dell'errore. Prendiamo una ipotetica roulette priva dello zero. Avere una serie ininterrotta di rossi (o di neri) è un evento sempre più raro quanto più numerosi sono i giri di roulette. Se il congegno è perfettamente funzionante la probabilità di ottenere, ad esempio, 12 rossi di fila è 0.5^12 cioè molto bassa (0,000024 o 0.0024%). Niente da obbiettare se ci limitiamo a parlare in termini assoluti di probabilità esprimibili come P-value. Le cose cambiano se usiamo questi dati anomali per arguire la probabilità che la roulette sia truccata. Questo perchè Pr(dati | Ho), cioè la bassa probabilità di ottenere il risultato posto che la roulette non sia truccata/ben funzionante (Ho), non è necessariamente la stessa di quella che la roulette sia stata manomessa vista l'eccezionalità dei dati o Pr(Ho | dati). Trasposizione ancor più discutibile data la scarsa plausibilità dell'ipotesi proposta se, dopo aver vinto un mucchio di soldi col puntare sempre sul rosso, sosteniamo per esempio che ciò è avvenuto grazie al rapporto telepatico che abbiamo con un nostro familiare defunto: una situazione simile a quella del film "Totò e i re di Roma" in cui Totò suggerisce dall'aldilà i numeri giusti del lotto alla moglie. L'anormalità dei molti rossi in successione resta immutata ma non è una prova altrettanto chiara che esista un suggeritore ultraterreno.
Tornando al BH, se vogliamo passare da Pr(dati | Ho) - ove, ricordiamo, Ho sta per l'ipotesi che non esista alcun HB - a Pr( Ho | dati) e calcolare questa probabilità occorre usare la statistica "bayesiana" la quale, a differenza di quella espressa in termini di P-value chiamata "frequentistica", prende in considerazione la probabilità a priori che sia corretta l'ipotesi Ho, cioè che il segnale non sia stato generato dal BH ma dal rumore di fondo. Il teorema di Bayes su cui questa statistica è fondata ci dice che la probabilità che sia vera una ipotesi H posto nuovi dati D (Pr(H | D) o probabilità posteriore è uguale alla probabilità dei dati osservati data l'ipotesi (Pr(D | H) moltiplicato per la probabilità che sia vera l'ipotesi H prima di aver ottenuto i nuovi dati o probabilità a priori di H, il tutto diviso per la probabilità a priori di ottenere quei dati:
Pr(H | D) = Pr(D | H)•Pr(H)/Pr(D).
A differenza della statistica frequentistica e che, dipendendo solo dalla probabilità descritta dalla distribuzione normale o gaussiana, è considerata "oggettiva", la statistica bayesiana ha in sè la difficoltà di un passaggio "soggettivo" poichè comporta la valutazione della probabilità a priori, quella cioè presente prima di aver eseguito il test, che sia vera l'ipotesi nulla Ho. Valutazione che, pur basandosi su dati di fatto quali la plausibilità scientifica dell'ipotesi e risultati precedenti è inevitabilmente il risultato di un giudizio individuale.
Un semplice esempio di come applicare questo tipo di calcolo all'esperimento del CERN si trova in un articolo visibile in rete dal titolo "Reverend Bayes helps us understanding the Higgs". L'autore considera solo l'esperimento ATLAS in cui il tracciato osservato si allontana in un punto dalla media attesa di 2.3 sigma corrispondente a un P-value di 0.01, cioè 1 probabilità su cento di ottenere il dato in assenza del BH. Questo però non ci informa sulla probabilità speculare che il BH non esista per ottenere la quale occorre appunto usare la statistica bayesiana. Ecco il semplice calcolo.
La probabilità di ottenere il dato osservato è fissa ed è determinata dall'escursione di 2.3 sigma cioè 0.01, quindi una probabilità molto bassa. L'esistenza del BH era da tempo fortemente presunta su basi teoriche - se no, tra l'altro, i fisici non si sarebbero impegnati in una ricerca tanto laboriosa e costosa. Il problema qui è il valore da attribuire a priori a Pr(no BH) nel secondo membro della equazione, cioè quanto noi valutiamo probabile che il BH non esista. Volendo essere scettici si può fissare a 0.7 questa probabilità. Adattando la formula di Bayes al problema abbiamo:
Pr(no BH|Dati) = Pr(Dati|no BH)•Pr(no BH)/Pr(Dati)
ove Pr(no BH) al numeratore è la probabilità a priori che conferiamo all'inesistenza del BH e Pr(Dati) al denominatore è la probabilità a priori di ottenere il dato osservato. Facendo i dovuti conti otteniamo una probabilità finale molto bassa (0.022) che il BH non esiste e, per converso, una alta (1-0.022 = 0.98 o 98%) che il BH infatti esiste.
Ripetendo questo tipo di calcoli basandoci sui dati combinati dei due esperimenti del CERN (ATLAS e CMS) ove l'escursione osservata passa da 2.3 a 5 deviazioni standard si ottiene una probabilità ancor più bassa della non esistenza del BH e una ancor più alta probabilità del contrario, proprio come i fisici del CERN hanno riportato.
Da tutto ciò si comprende il peso che può avere nella valutazione conclusiva di un esperimento la probabilità a priori che sia vera l'ipotesi che l'esperimento mette alla prova, importanza illustrata recentemente dall'annuncio del neutrino "più veloce della luce", reperto non confermato da ulteriori esperimenti. Anche in questo caso era stata osservata una escursione di 5 sigma, però la probabilità a priori dell'ipotesi era considerata molto bassa da una gran parte dei fisici teorici e questo avrebbe dovuto suggerire maggior cautela nell'interpretare il risultato.
Al pari dei fisici che si sono occupati del BH, chi fa ricerca clinica valuta i risultati che ottiene per mezzo della statistica frequentistica esprimendoli di regola in termini di P-value e quando i risultati permettono il rifiuto dell'ipotesi nulla (Ho) la condotta è di accettare l'ipotesi alternativa H1. Nel caso del BH, H1 era l'esistenza della particella mentre per la ricerca clinica H1 è di regola l'efficacia specifica della terapia esaminata. Conclusione corretta anche se bisogna tener presente che se vogliamo sapere, oltre a un verdetto di sì o di no, la probabilità di aver sbagliato (cioè che il nostro risultato sia un falso positivo) dobbiamo ricorrere alla statistica bayesiana.
Dove la statistica frequentistica si rivela del tutto insufficiente è quando viene usata per valutare gli studi clinici sulle medicine complementari o non convenzionali (MnC) quali agopuntura, medicina tradizionale cinese, omeopatia per citarne le più importanti. Riprendendo la fisica quantistica possiamo grosso modo tracciare un parallelo tra i tradizionali studi clinici e gli esperimenti sull'esistenza del BH da un lato e, dall'altro, tra gli studi clinici sulle MnC e quelli sulla eventuale velocità maggiore della luce del neutrino. I primi due infatti testano ipotesi aventi una plausibilità scientifica, gli altri ipotesi in contrasto con i principi scientifici da tempo comprovati.
Prendiamo gli studi volti a provare l'efficacia della moxibustione nel correggere la presentazione del feto al parto proposta dalle MnC. Questa tecnica consiste nell'accostare al quinto dito del piede della partoriente una sigaretta accesa fatta di una erba aromatica chiamata Artemisia. Il fondamento scientifico (e semplicemente razionale) di questa misura è inesistente a meno che non si vogliano elevare a scienza le congetture degli antichi cinesi sul fluido vitale Qi e sui canali corporei in cui esso dovrebbe scorrere. Si è tentati di chiamarla una stupidaggine se non fosse che, come ha notato il matematico Norman Levitt, siamo passati dal concetto di uguaglianza tra individui a quello di uguaglianza tra opinioni ed è oggi politicamente scorretto chiamare sciocca un'idea sciocca.
Bene, alcuni studi sostengono che la moxibustione nel parto è "fondata sull'evidenza" perchè hanno ottenuto un P-value significativo di ≤ 0.05 o ≤0.01. Questo senza che agli autori venisse minimamente il sospetto che, data l'incongruità dell'ipotesi messa alla prova, il risultato fosse un falso positivo dovuto a errore di metodo o/e bias. Probabilità di errore ignota dato che la statistica usata non può dire nulla in proposito tanto più perchè riguarda una ipotesi inverosimile al pari della vicenda immaginata nel film di Totò. Infatti una recente rassegna molto accurata moxibustion breech presentation si mostra nel complesso scettica sulla reale utilità di questo intervento.
Va detto che gli studi sulla velocità del neutrino appartengono a un categoria del tutto diversa da quelli sulla MnC. Anche questi studi mettevano alla prova una ipotesi improbabile (se si fosse superata la velocità della luce si sarebbe dovuto mettere in discussione praticamente tutta la fisica) però con la differenza di un P-value astronomicamente basso e l'enorme rigore con cui questi studi venivano condotti. Questo oltre al fatto che nella fisica quantistica i cambiamenti di paradigma sono stati fin dall'inizio all'ordine del giorno e quindi mai da escludersi a priori, mentre i fondamenti della medicina quali anatomia, fisiologia, biochimica sono rimasti essenzialmente gli stessi almeno negli ultimi due secoli.
